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人工Δ悗量O(3);「Bする構]」の_要性

人工Δzと}ばれるマービン・ミンスキーは、1961Qのb文(参考@料1)の中で、「性(Intelligence)は、外霈霾鵑箸隆愀犬咾にN内の世cモデルとマインドとの間の内省(Introspection)によって発現する」という複数のQ機構(マルチエージェント)間のBモデルにて、人間の的動を説しようとしていた(参考@料2)。 今vは、「複数のQ機構間のB」がQξをステップアップさせる鍵となる妓でもあると数学的に証されていることを紹介する。

“Computing”の源流

”Computing(コンピューティング)”という英単語は、「Q」にき換えるのはk般的だが、「Q」を英lすると、なかなか“Computing”や“Computation“は思い浮かばない。 ”Computing”と「Q」に共通項があることがわかるのだが、共通しない霾はk何なのか?筆vは、ずっとそのT味することが気になっていた。 しかし、ある時、中世イタリアのガリレオ・ガリレイ(1564-1642Q)の言を眼にした時、探していた”Computing”のルーツに出合ったような気がした(R1)。 それは、「宇宙は数学の言で書かれている」であった。

“Computing”とは、数学の言(b理とQ)による表現を言っているのではないか?“Computing”を狭く理解すると、四ПQや電Rを使ったQになりかねない。しかし、数学vが興味する所は、宇宙にこりうる現であり、この世の真実である。 ガリレオと数学vは、「真実のeは数学を通してしか理解できない」と言っていると筆vは理解した。

“Computing”は定の人間の信条や感性に基づく演Qやb理ではない。 信条や感性に基づく演Qやb理は、個人個人で異なりuる。しかし、Qで表現できるb理は、颪箸靴討凌祐屬ξの限cを越し、この宇宙の中で共~可Δ悩任眇頼できる世c茲鯆鷆,靴Δ襦数学vはそのように考えたのではないだろうか?

ガリレオに次いで、人間のξの突破を狙い、共~可Δ膿頼できる世c茲鯆鷆,垢觝邏箸鯆鷯Г靴真颪蓮19世紀のドイツの数学vゴットロープ・フレーゲ(1848-1925Q)とデビット・ヒルベルト(1862-1943Q)であると思う。 彼らは、「人間が信条や感性を通じて経xする世c茲b理は、本颪任呂覆げ性がある」と見做していたと筆vは思う。 彼らは、「直感を排し、Sが真実であると見做すo理に基づいてT盾の無い識のUを構築しよう」という動のリーダであった。 いわゆる「厳密学」の構築動である(R2)。 「厳密学」は、人間の経x的な理解を排除し、信じるにBる仮説(o理)を出発点に、数学とb理学によって客菘に世cのeを理解しようとする。 それは、人間の理解は、個人の経xにU約されてしまう主茲箸覆蠅ちだからである。

ヒルベルトは、1900Qのパリ万Fと共に開された国際数学会議に、「ヒルベルト・プログラム」を提したという(参考@料3)。ヒルベルト・プログラムの貉櫃鯢vなりにTlすると以下の表現となる。

(1) JTの識を、さまざまな人によって再Wできる形式(定理)に表現し直し、再検証し、人類の共~識としてp理を進める。
(その新しい表現には、T盾やパラドックスが無いとvに検証されることを求める。その`的は、識を個人の所~から独立させ、複数の人間の参加の元で拡jさせるためである)

(2) 未だ仮説としか}べない段階の識に瓦靴討蓮¬尻としての証作業を進め、に、v検証することによって、人類の共~識としてp理(もしくは拒否)するかどうかを判定する。

ヒルベルト・プログラムは、オープンイノベーションの桔bであり、研|vや開発vがeつべき会Bマナーでありルールであった。 そして、その桔b、マナー、ルールが、20世紀後半の集積v路\術やIT\術構築を進めたと、筆vは見る。 巨j開発を要とする集積v路噞は、フレーゲとヒルベルトが提唱した桔b、マナー、ルールなしには成り立たない噞である(R3)。

さまざまなユースケースにて再W可Δ識は、「@性」がある時に価値が高く、そして_要である。
k機T盾やパラドックスがT在すると、JTの定理と組み合わせてb理を合成することができないため、価値が低く、p理するレベルにはない。 @性がないことは、e険であり信頼性が低いということでもある。

信頼するにBる命(言語)の表現は厳密でなくてはいけない。 無限j(Infinity)や異点(Singularity)も警された。 それらはパラドックスの原因となりうるからである。「無限j」や「無限小」を表現する数学記、T在するが、共に実在するかどうかは証されてはいない。

ヒルベルト・プログラムが進めた学術文化によって、識が人から独立し、Hくの人々の頭Nに引きMがれ、深化し拡jしていった。 人間の識が、して訪ねて行くことができない宇宙の開闢(かいびゃく)の瞬間や、ブラックホールの中や、地球や陵曚涼羶陲旅暑]にまで及んでいるのは驚異としか言いようがない。

AIコンピュータは「思う」のだろうか? 

今も、ほとんどの人は、AIコンピュータが本颪性eつようになるとは考えていないと思う。しかし、ヒルベルトが「識の形式化要弌廚鮃圓際には、「数学的識は機械的に構築可Δ任△襦廚箸輪察があったのではないだろうか? 少なくとも、アラン・チューリングは、1948Q以T、機械が性を耀uする桔,狼bしuるとの貉櫃鯤数のb文にて発表していた(参考@料4―6)。

1928Q、ヒルベルトは、に「定問」へのR`を}びXける(参考@料3)。「定問」とは、「p理」もしくは「拒否」を判定するタイプの問である。

1936Q、その「定問の解に向けて桔b」として、アラン・チューリング(1912-1954Q)は、チューリングマシンと}ばれることになる仮[コンピュータを発し、その構]と機Δ鯆鷽した(参考@料7)。「定問」への解に向けてチューリングがとった戦Sを筆vなりにTlすると、以下となる。

(1) 「命を解く作業」を「b理とQの}順」とみなし、その念を「アルゴリズム」と表現した。
但し、この「アルゴリズム」は、学{やトレーニングの壻は含まない。

(2) 「アルゴリズム」を処理するチューリングマシンの内霍暑](アーキテクチャ)を的に提した。
  現代のコンピュータの基本構]が、この時、実的に発された。

(3) 「命がp理可Δどうかか」は、「チューリングマシンの動作が『効果的にQできる時間』で停V(動作完了)するアルゴリズムがT在するかどうか」と同じであることをした。

つまり、「定問」を「チューリングマシン(仮[コンピュータ)の停V問」という表現にき換えた。しかし、アルゴリズムが見つかったとしても、現実的な時間内に動作が完了しえないのであれば、証が完了するのかどうかを瑤襪海箸呂任ないので、証したことにはならないということである。

チューリングマシンが現実的な時間内に動作が完了するかは、チューリングマシンのアーキテクチャが関係して来る。 「現実的な時間内に動作が完了するか」と「チューリングマシンのアーキテクチャ」の関係は、その後、「Q複雑性理b」(もしくは、「Q量理b」)の世cを切り開きU化され、「Q可性問」とも}ばれるようになった。

「Q可性問」は、筆vの理解した、以下の二つの作業が擇困詭筱である。

(A) アルゴリズムを、現実的な時間内に動作完了するに要な「動作ステップ数や要なメモリ容量」の菘澄兵Q量)にてランク分けする。

(B) 複雑なアルゴリズムのQに瓦靴童果的なアーキテクチャをeつよう、チューリングマシンのアーキテクチャ拡張を定性的に考え、その新しいアーキテクチャのクラスの~効性をQ量のランクとの関係で見積もる。

Q量のランクの定I

アルゴリズムが動作完了するまでのQ量のランクとしては、「アルゴリズムが完了するまでのステップ数や要なメモリ容量」をパラメータ(n)として、例えば、
・ Polynomial Time (P)  : nのH項式で表せるQ量
・ Exponential Time(EXP) : nの指数関数で表せるQ量
・ Doubly-Exponential Time (NEEXP): nの「二_の指数関数」で表せるQ量
が定Iされている(後述する表1の左笋陵鵑良集宗法

古くは、「Q量がPolynomial Time(P)に収まることが、現実的な時間内に動作が完了することである」とされて来た。

チューリングマシンのアーキテクチャ議b

チューリングマシンのアーキテクチャに関しては、以下のような拡張が検討され、それぞれが新たな仮[コンピュータのタイプとして定Iされて来た。 代表的な例は、表1にすように(QS語は表1参照)、
(1) DTM:古Z的チューリングマシン
(2) メモリ容量を巨j化するバリエーション
(3) NTM:ステートマシンv路をj量に搭載して、分岐後の処理のいずれかで動作完了した場合には、マシンが「動作完了」とする
(4) NPTM:乱数発昊_を搭載して、ランダムにパラメータを変しながら、処理を複数v進めることで、「p理」や「拒否」が出るパターンを調べ、統的に証を進める
(NPTMを~効に機Δ気擦襪砲蓮下の(5)の「B構]」が要と筆vは思う)
(5) IP:2のQ機構(エージェント)間がBすることで、(4)の統的証を進める
(6) AM:2のQ機構(エージェント)間のk気常に高度な識とξをeつ「証v」、他気髻峺‐敘v」とし、両vがBすることで(5)の統的証を進める
(7) MIP:B型証システムで、常に高度な識とξをeつ「証v」を複数いる
(8) MIP star:複数の量子コンピュータ間で量子もつれ現で互いにJ渉する「複数証v」をeつB型証システム(通常、MIP starは「MIP*」と表記される。)
等々である。これらのチューリングマシンのタイプは、表1の笋陵鵑傍載した。


アルゴリズムの複雑さ(もしくはQ複雑性)をQ量という念でランク分け

表1 アルゴリズムの複雑さ(もしくはQ複雑性)をQ量という念でランク分け 欄の笋蓮△修離薀鵐を定Iする際に引される仮[コンピュータのタイプである。 出Z:参考@料3-10を参考に筆vが作成した


アルゴリズムが現実的な時間内に動作完了するに要な「動作ステップ数や要なメモリ容量」は、チューリングマシンのアーキテクチャを行うと関わりがありuるため、この辺の議bや語の定Iは、直言って常にわかりづらい。しかしながら、チューリングマシンのアーキテクチャの議bは、@コンピュータのロードマップとも見ることができる内容であるため、集積v路に興味をeつ身としては、これらはして見逃すことのできない議bである。

Human IntelligenceもAIも、MIP star未満

改めて、表1を見て頂きたい。 集積v路の菘世ら「チューリングマシンのタイプ」をみると、これは、Q効率を向屬気擦襪燭瓩離泪轡鵑硫良議bであった。

「MIP star」は、量子学をフルにシミュレーションできるをT味する。 Qリソースが科にjきければ、理屈の屬任蓮宇宙の現を再現可Δ任△襦 って、当ながら人間のNも人工頭Nもシミュレーション(もしくは、エミュレーション)可Δ任△襦 つまり、Human Intelligence(HI)もArtificial Intelligence(AI)も、そのQ量は、「MIP star」未満である。また恐らく、HIもAIも、古ZコンピュータのモデルであるDTMやNTMよりは、高度なξをeつ。

NPTMは、IPやAMの「B構]」を機Δ気擦觴Q機構であったことを思い出していただくと、HIを位け可Δ幣貊蠅倭T外と少ない。ズバリ言って、IP(AM)、もしくは、MIPと言うべきであろう。

それらの徴は、以下のように二つある;
・ Random化(確率的動作を導入する機構)の{加
・ B型機構(複数のQ機構による、高度な識とξをeつ「証v」と「検証v」の役割分担)

IP(AM)の構]を図にしてみると、図1のようになる。この構]は、冒頭に引したマービン・ミンスキーの1961Qのb文(参考@料1)の中でした「性(Intelligence)は、外霈霾鵑箸隆愀犬咾にN内の世cモデルとマインドとの間の内省(Introspection)によって発現する」という複数のQ機構を[定したBモデル(参考@料2)とF瑤垢襦F韻犬世噺世辰椴匹い里任呂覆い世蹐Δ?IP(AM)の構]は、AI(に、咾AIやAGI(@AI))を構成する時に、最もR`されるべき構]だろう。

次v、マービン・ミンスキーの指~に立ち戻り、その比較をMしてみる予定である。但し、この図1では、学{やトレーニングの壻は未だ含まれていないことにはRTが要である。


Arthur-Maline型のInteractive Proof Systemの[定構成図


図1 Arthur-Maline型のInteractive Proof Systemの[定構成図 MIPの場合には、証v(Marlin)が複数実△気譟検証v(Arthur)は、それら複数の証vとBし、そのBによって、証すべきJ囲を狭めてゆく。 出Z:参考@料8-13を参考に筆vが作成

R
1. 盜颪離螢船磧璽鼻Ε侫.ぅ鵐泪鵝1918-1988)や英国のデビッド・ドイッチェ(1953-現在)も同様の主張を行っていたことを、筆vは最Z瑤辰拭 参考@料8-9によると、両vの表現は、「Ocのを扱うコンピュータは量子学的現をWして動作する要がある」であった。 量子学の発見やコンピュータの発以Tであるため表現は異なるが、「量子学=宇宙」であり、「コンピュータの動作=数学の言」と見るべきであり、そのように見ると同じ貉櫃箸覆襦
2. フレーゲは、o理に基づいてT盾のないb理のUを構築しようとした。 彼の思[を広めたのは、ジュゼッペ・ペアノ、バートランド・ラッセル、ルートヴィヒ・ウィトゲンシュタイン、エトムント・フッサールらの哲学vであったと言われている(参考@料5)が、その@神を20世紀の科学とIT噞の勃興にTびけたのは、デビット・ヒルベルトであった。
3. 「日U企業は、k般にロジック半導の業に弱い」と筆vは思うが、その弱さは、ヒルベルトが求めたような識を拡jさせる桔bや、会Bマナー、ルール、仕様表現の厳密さ、オープンイノベーション戦Sの弱さと関係があるのではないかと思う。

参考@料
1. Marvin Minsky, M., “Steps toward Artificial Intelligence”, Proceedings of the IRE Contents, Vol. 49, 1961.
2. KI憲、「人工Δ悗量O(2):Intelligenceとは何か」、セミコンポータル (2021/07/28)
3. ウィキペディアの「ヒルベルト・プログラム」、2021Q6月27日版。
4. Turing, A.M., “Intelligent machinery (1948), A Heretical Theory”, Philosophia Mathematica, Vol. 4, Issue: 3, 1996.
5. Turing, A.M., “Computing machinery and Intelligence”, Mind 59: pp 433-460, 1950.
6. Turing, A.M., “Can a Machine Think”, The World of Mathematics, edited by James R. Newman, vol. 4, pp. 2099-2123, Simon & Schuster, 1956.
7. Turing, A.M., "On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem"、1936Q5月28日提出。
8. 丸冑堝麌廖◆コンピュータ・サイエンスの現在―MIP*=RE定理とは何か?(2):Q可性理bとQ複雑性理b
9. 丸冑堝麌廖◆屮┘團宗璽 3:情報壻は壻である--Church-Turing-Deutsch Principle」、Web-Content ;
10. Goldwasser, S., Micah, S., and Rackoff, C., “Knowledge Complexity of interactive proof systems”, Proceedings of the 17th ACM Symposium on theory of Computing, 1985.
11. Babai, L., “Trading Group Theory for Randomness”, Proceedings of the17th ACM Symposium on Theory of Computing, 1985.
12. Babai, L., Moran, S., "Arthur-Merlin games: a randomized proof system, and a hierarchy of complexity class", Journal of Computer and System Science, 36 (2): 254–276, 1988.
13. Ben-Or, M., Goldwasser, S., Kilian, J., and Wigderson, A., “Multi prover interactive proofs: How to remove intractability assumptions”, Proceedings of the 20th ACM Symposium on Theory of Computing, p.113-121. 1988.

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